WisFaq!

Rekenen met complexe getallen

Wij moeten voor onze opleiding (regent wiskunde) een oefening betreffende rekenen met complexe getallen oplossen maar we komen er maar niet uit, daarom zouden wij graag jullie hulp willen inroepen.
De opgave luidt:
Bewijs de volgende eigenschappen (die wij hier enkel in woorden i.p.v in symbolen kunnen noteren):

"voor alle Z1 en Z2 elementen van de verzameling van de complexe getallen geldt dat de modulus van Z1 + Z2 kleiner of gelijk is aan de modulus van Z1 + de modulus van Z2"

wij danken jullie bij voorbaat voor jullie hulp
groeten

Sandra Peeters
23-5-2002

Antwoord

Je kunt het op 2 manieren bewijzen.
Ten eerste puur meetkundig en wel op grond van de driehoeksongelijkheid.
Je weet dat de optelsom van de twee complexe getallen z₁ en z₂ neerkomt op de diagonaal van het parallellogram dat je met de twee vectoren z₁ en z₂ als zijden kunt maken.
Als je dat parallellogram OABC noemt, dan is de modulus van de optelling de lengte van diagonaal OC. Maar die is toch altijd korter dan de optelling van OA en OB op grond van de vermelde driehoeksongelijkheid?

De tweede aanpak is domweg rekentechnisch.
Als de complexe getallen zijn a+b.i en c+d.i, dan is de optelling a+c+(b+d).i

Nu moet je aantonen dat (a+c)²+(b+d)² (a²+b²) + (c²+d²).

Kwadrateren levert op:

(a+c)² + (b+d)² a²+b²+c²+d²+2.(a²+b²).(c²+d²).

Uitwerkend en wegstrepend krijg je nu:

ac+bd (a²+b²).(c²+d²)

Weer kwadraterend krijg je:

a²c²+2abcd+b²d² a²c²+a²d²+b²c²+b²d²

En dan ben je er, want nu staat er:

2abcda²d²+b²c² ofwel

(ad-bc)²0 en dat laatste is natuurlijk altijd waar, want het is een kwadraat.

Je ziet: meetkundig is het zó gepiept en de rekenaanpak is niet moeilijk, maar wel erg technisch.

MBL
23-5-2002