WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 1 december 2023

Hoofdstelling van de rekenkunde

Bedankt voor het snelle antwoord maar ik bedoel hiermee niet de stelling van de rekenkunde.
Ik zal het volledige bewijs geven dat ik niet snap :

"Elke n een element van N\{0,1}kan geschreven
worden als een produkt van priemgetallen"

bewijs : zij V={n een element van N|n is produkt van priemgetallen} zeker is 2 een element van v (staat vast)

veronderstel dat voor alle p met
2<=p<=n: p=het produkt van de priemgetallen p1p2...pr
(p1 : bedoelend het eerste priemgetal)

Neem dan n+1:
ofwel is n+1 priem, ofwel is n+1=pq met 2<=p en q<=n

en dus n+1= (p1p2...pr)(q1q2...qs)
= (t1t2...tl)

d.w.z. {2,...,n+1}is een deelverz. van V
bijgevolg N\{0,1} is een deelverz. van V

Ik hoop dat u eraan uit kunt. (want ik niet)
Wilt u er aub uitleg bij voegen?
Dank bij voorbaat

Caroline Vanderheyden
26-9-2001

Antwoord

Het bewijs is gebaseerd op het "axioma van volledige inductie" voor de natuurlijke getallen, in dit geval {1,2,3,...}.
Dit axioma luidt:
Stel je wilt een eigenschap E bewijzen voor elk natuurlijk getal n.
Je zet dan de volgende stappen:
1. Je bewijst dat E geldt voor n=1.
2. Je neemt aan dat E geldt voor n = k (de inductieveronderstelling)
3. Je bewijst daarna dat E geldt voor het getal n = k + 1.
Het axioma zegt dan, dat E geldt voor ieder natuurlijk getal.

Soms (zoals ook bij jouw probleem) moet je de verzameling N wat verder inperken.
Aangezien we hier een uitspraak doen over priemgetallen, laten we 1 weg,
omdat dat GEEN priemgetal is.

Nu het bewijs van jouw probleem dat ik wat toelicht:
1. 2 is te schrijven als een "product" van priemgetallen (2 heeft de eigenschap E):
2 = 2 (dus 2 zit in V).
2. Stel de eigenschap geldt voor n = k (dus ook voor iedere n < k).
Voor iedere n <= k geldt dan n = p1.p2...pr (waarbij de p's priemgetallen zijn).
We verklaren dus E gelding voor een deelverzameling van V, te weten {2,3,...,k}.
3. We moeten nu bewijzen, dat ook n=k+1 zo te schrijven is (de eigenschap E heeft).
Daar gaan we.
Voor k+1 hebben we twee mogelijkheden: k+1 is een priemgetal of het is samengesteld.
Is k+1 een priemgetal dan keeft k+1 de bedoelde eigenschap.
Is k+1 samengesteld, dan kunnen we k+1 ontbinden (in twee factoren l en m; da's genoeg).
Dus k+1=l.m
Maar voor l en voor m geldt dat ze beide >=2 en beide <=n zijn.
Volgens de inductieveronderstelling (zie 2.) hebben we dan:
l=p1...pr en m=q1...qs (waarbij de p's en q' weer priemgetallen zijn, andere dan hierboven).
Zodat k+1=p1...pr.q1...qs (uitgeschreven dus).
Ook het getal k+1 heeft dus de eigenschap E.
Waarmee met volledige inductie is aangetoond, dat elk getal uit N\{0,1}
bedoelde eigenschap heeft.
Opmerking
We hebben hierboven de hoofdstelling van de rekenkunde dus bewezen.

dk
27-9-2001


© 2001-2023 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#329 - Getallen - Student hbo