WisFaq!

Bewijs limiet epsilon delta

Een goedemiddag,

Ik heb moeite met het bewijzen van twee limieten:

lim x$\to$¹/₃ ¹/_x

en:

lim x$\to$4 √x = 2

Ik moet dit bewijzen middels:
|f(x) - L| $<$ $\epsilon$ als 0 $<$ |x-a| $<$ $\Delta$

Bij andere limieten kom ik hier dankzij kn van jullie fomu inmiddels prima uit. Wat ik bij de meeste limieten (succesvol) toepas om ze te bewijzen is het linkerdeel van de formule te herschrijven zodat daarin de term '|x-a|' uit het rechterdeel van de stelling voorkomt, dan kan ik vervolgens $\Delta$ uitdrukken als een ratio van $\epsilon$. Bij deze twee limieten weet ik echter niet hoe (en óf!) ik dit (zo) moet doen. Ik hoop dat u me kunt helpen. Alvast heel hartelijk bedankt voor de hulp!

gr. J

J.
16-1-2005

Antwoord

Jaap,
Opm:/ =absoluut streep.

We nemen de eerste limiet.Bij gegevn$\epsilon>$0 bestaat er een
$\delta>$0 zodanig dat voor 0$<$/x-¹/₃/$<\delta$ (1) geldt dat
/1/x -3/$<\epsilon$.We moeten proberen (1) en (2) met elkaar in verband te brengen.Nu
/1/x -3/=/(3/x)(¹/₃-x)/=/(3/x)//x-¹/₃/.
We moeten nu proberen $\delta$zo te kiezen dat /(3/x)/$<$k voor alle x die aan (1) voldoen.Teken de grafiek van /(3/x)/.
x ligt tussen ¹/₃-$\delta$ en ¹/₃+$\delta$.Voor $\delta$=¹/₃is 3/x niet begrensd.We nemen $\delta$=1/6.Ook andere keuzen voor $\delta<$¹/₃ zijn natuurlijk mogelijk.Dan moet
/x-¹/₃/$<\delta\leq$1/6.$\to$-1/6$<$x-¹/₃$<$1/6$\to$
1/6/₃$<$x$<$3/6$\to$2$<$1/x$<$6$\to$6$<$ 3/x$<$18.Dus
/(3/x)/$<$18.We nemen dus voor $\delta$=$\epsilon$/18, maar deze mag niet groter zijn dan 1/6.Dus$\delta$=min($\epsilon$/18,1/6).
Conclusie:
Als /x-¹/₃/$<\epsilon$/18.dan is /1/x -3/$<$ 18·$\epsilon$/18=$\epsilon$.
Als $\epsilon$/18$>$1/6,dan is $\epsilon>$18/6 en $\delta$=1/6 en uit

/x-¹/₃/$<$1/6 volgt dat /1/x -3/ $<$ 18/6$<\epsilon$.
De tweede limiet loopt eenvoudiger omdat

x-4=(√x+2)(√x-2) en √x +2 $>$1.Dus
/√x-2/$<$/x-4/.

daarom nu $\delta$=min ($\epsilon$,4).Waarom?
Hopelijk verlies je de moed niet!
Succes.

kn
16-1-2005