WisFaq!

Re: Het bepalen van primitieven

Beste Tom,

Zou U de eerste som willen uitleggen met de substitutie
u=√(x²-1)+x ?
Ik ben tot hier gekomen:

u=√(x²-1)+x
x=(u²+1)/(2u)
√(x²-1)=(u²-1)/(2u)
dx=((u²-1)/(2u²))du

bedankt

Teddy
9-1-2005

Antwoord

Beste Teddy,

Ik zie niet goed waar je een goniometrische substitutie hebt toegepast, ik zal even van voorafaan beginnen.
Het gaat het eenvoudigst met de eerste substitutie die ik had aangeraden, die zal ik toepassen (ik hoop dat je de hyperbolische functies kent?)

$\int{}$dx/√(x²-1)

Stel x = ch(u) $<\Rightarrow$ dx = sh(u)du

= $\int{}$sh(u)du/√(ch²(u)-1)

ch²(u)-sh²(u) = 1 $\Rightarrow$ ch²(u)-1 = sh²u

= $\int{}$sh(u)du/√(sh²(u))
= $\int{}$sh(u)du/sh(u)
= $\int{}$1du
= u (+c)

Terug substitueren:
x = ch(u) $<\Rightarrow$ u = ach(x)

Je primitieve is dus ach(x), dit is de inverse cosinus hyperbolicus.

Ter controle leiden we terug af:
d(ach(x))/dx = 1/√(x²-1), terug je opgave.

mvg,
Tom

td
9-1-2005