WisFaq!

Functievoorschrift bepalen

Dit is de opgave:
Bepaal een functievoorschrift van de 3e graad die P(1,2/3) als buigpunt heeft terwijl de buigraaklijn als rico -2 heeft en die voor x=3 een relatief extremum heeft.

Kan iemand mij hiermee helpen?

Claudia
8-12-2004

Antwoord

We beginnen met het eerste gegeven. Wanneer heeft een 3e-graads functie een buigpunt voor x = 1?
Dat is het geval als de tweede afgeleide voor x = 1 van tekent wisselt.
Overigens, bij een 3e-graads functie is die tweede afgeleide van de 1e graad.
De eenvoudigste daarbij passende functie (zie ook mijn vraag aan het eind) is:

f ''(x) = x - 1

Dan is:

f '(x) = ¹/₂x² - x + a

Nu moet, volgens het tweede gegeven gelden: f '(1) = -2.
Dit geeft eenvoudig:
a = -1¹/₂
Zodat:
f '(x) = ¹/₂x² - x - 1¹/₂
Het derde gegeven, een extreem voor x = 3, zegt dat dan f '(3) gelijk aan 0 moet zijn.
En dat klopt hier (maar dat is lauter toeval; zie weer de vraag aan het eind):
f '(3) = 4¹/₂ - 3 - 1¹/₂ = 0
Voor het voorschift van f zelf vinden we nu:

f(x) = ¹/₆x³ - ¹/₂x² - 1¹/₂x + b

Er is nu nog één van de gegevens niet gebruikt, daarom laat ik het berekenen van de waarde van b aan jou!

Vraagje.
Hoe zou je het probleem oplossen als, in plaats van x = 3, er een extreem was voor (bijvoorbeeld) x = 4?
Welke 1e-graads functie zou je dan kiezen voor f ''(x)?

dk
8-12-2004