WisFaq!

Vieta`s Substitution

Hallo,
Zouden jullie mij kunnen uitleggen hoe ze aan deze substitutie komen in de derdemachtsvergelijking
http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html

Hoe komen ze aan x=w-P/3W
Alvast bedankt

Tho
6-12-2004

Antwoord

Het is zoiets als het kwadraatafsplitsen bij vierkantsvergelijkingen.
Als men x=w-p/(3w) substitueert in x³+px, komt er
(w-p/(3w))³ + p(w-p/(3w)) = w³-3w²p/(3w)+3w(p/(3w))²-(p/(3w))³+pw-p²/(3w) = w³ - (p/(3w))³.
De truc is dus dat de termen met w² en w wegvallen (anders gezegd, de coëfficiënten van w en w² zijn 0).
Daardoor gaat de vergelijking x³+px=q over in w³=c, met c=q+(p/(3w))³. Dat is een belangrijke vereenvoudiging, want nu vindt men w (en vervolgens x) door de derdemachtswortel te trekken uit c.
Dit heeft Vieta na veel rekenen en proberen gevonden. Of misschien heeft hij er niet eens zo lang over gedaan, want het was een slimmerik.

hr
8-12-2004