WisFaq!

Meetkundige plaats

Wat is de analytische vertolking van een meetkundige plaats? (+vergelijking)

Snelle
19-11-2004

Antwoord

De vraagstelling is me niet helemaal duidelijk (zeker niet je toevoeging '+ vergelijking').
Maar ik probeer al vast iets.

Definitie. Een meetkundige plaats is een verzameling punten die alle een bepaalde eigenschap hebben.

Die eigenschap wordt meestal verkregen door een punt of een lijn (meerdere lijnen, of een cirkel) van positie te laten veranderen.
In de analytische meetkunde gebruikt men meestal een parameter om die positieverandering te beschrijven.
Een voorbeeld.
We vragen naar de meetkundige plaats van de snijpunten S van twee loodrecht op elkaar staande lijnen.
De ene lijn (m) gaat door (0,0), de andere (n) door (2,0).
De richtingscoëfficiënt van m kiezen we dan als parameter; noem 'em a.
Als a verandert, verandert de vergelijking van de lijn, en dus ook de positie van de lijn in het vlak.
We hebben dan de vergelijkingen:
m: y = ax
n: y = -¹/_a(x - 2)
Als a verandert, verandert nu ook de positie van de lijn n, maar m en n blijven loodrecht op elkaar staan.
De meetkundige plaats van hun snijpunt vinden we dan door de parameter a uit beide vergelijkingen te elimineren ('weg te werken').
Uit de vergelijking van m volgt: a = ^y/_x
Vullen we dit voor a in de vergelijking van n in, dan krijgen we:
y = - ^x/_y(x - 2)
Na wat omwerken levert dat:
(x - 1)² + y² = 1
Dit is een cirkel met middelpunt (1,0) en straal 1.
En die cirkel is dan de meetkundige plaats van het punt S.

Teken zelf eens een plaatje hierbij. Een geodriehoek kan je dan goed van pas komen.

Enneh, mocht je meer willen weten, reageer!

dk
19-11-2004