WisFaq!

Goniometrische identiteit bewijzen

als a+b+c=Pi, bewijs dan dat:
cos(2a)+cos(2b)+cos(2c)=-1-4cos(a)cos(b)cos(c)
ik heb al verscheidene mogelijkheden uitgeprobeerd maar ofwel kom ik -1+4.... uit ofwel 1-4....
we moeten de c wel gelijk stellen aan 180-(a+b)
kunnen jullie mij helpen?

stefaan
14-11-2004

Antwoord

Vermits c = 180-(a+b) is cos(c) = -cos(a+b)
Vermits 2c = 360-(2a+2b) is cos(2c) = cos(2a+2b) = cos[2(a+b)]

Dus
cos(2a)+cos(2b)+cos[2(a+b)]=-1+4cos(a)cos(b)cos(a+b)

Pas op de eerst twee termen van het linkerlid de formule van Simpson toe en op de derde term de formule van de dubbele hoek in functie van de cosinus.
Zonder de gemeenschappelijke factoren af en pas op wat tussen de haakjes overblijft opnieuw de formule van Simpson toe.
Je bekomt zo exact het rechterlid.

LL
15-11-2004