WisFaq!

Cos4A+cos4B+Cos4C = -1+4cos2Acos2Bcos2C

Ik heb deze oefening al wat kunnen uitwerken, maar op een gegeven moment zit ik vast:

cos4A+cos4B+Cos4C = -1+4cos2A.cos2B.cos2C
= cos4A+cos4B+Cos4C+1 = 4cos2A.cos2B.cos2C
LL: 2cos.(4A/2+4B/2).cos(4A/2-4B/2)+cos4C+1
= 2cos2A+2B.cos2A-2B+cos4C+1

En ik zit vast bij cos4C+1. Kun je dit uitwerken met Carnot, maar dan heb je wel cos2C+1 en geen cos4C+1

Marianne
7-11-2004

Antwoord

Dag Marianne

Ik vermoed dat je een belangrijk gegeven over het hoofd hebt gezien. Is er ook niet gegeven dat de hoeken A, B en C de drie hoeken van een driehoek zijn, of dat hun som gelijk is aan 180°?

Dan is 2A+2B+2C = 360°, dus 2C = 360-(2A+2B)
zodat cos2C = cos(2A+2B)

4A+4B+4C=720°, dus ook geldt dat cos4C=cos(4A+4B)=cos[2(2A+2B)]

Dus je opgave kun je schrijven als :

cos4A+cos4B+cos[2(2A+2B)] = -1+4cos2A.cos2B.cos(2A+2B)

Pas nu in het linkerlid op de eerste twee termen de formule van Simpson toe
algemeen : cosa+cosb=2cos^(a+b)/₂.cos^(a-b)/₂.
Beschouw de derde term als de cos van een dubbele hoek. Gebruik hiervoor de algemene formule cos2a = 2cos²a-1.

Zonder de gemeenschappelijke factoren af en pas opnieuw de formule van Simpson toe op wat tussen de haakjes overblijft.
Nu heb je het rechterlid bekomen en is de gelijkheid bewezen.

LL
7-11-2004