WisFaq!

Correlatie

Is de correlatie tussen y en E[y|x] altijd positief en zo ja waarom dan(y is een random variable)?

anne
7-10-2004

Antwoord

Dag Anne,
Zoals je weet (hoop ik tenminste) is de voorwaardelijke verwachting E(Y|X) van een stochast Y gegeven X altijd te schrijven als functie van X
Voorbeeld: 2 worpen met een dobbelsteen. Y het aantal ogen van de 1ste worp, X de som van de 2 worpen samen, dan :
E(Y|X) = X/2 (en E(X|Y) = Y + 3,5)
We bewijzen dat de correlatie tussen de stochasten Y en
Y' = E(Y|X) niet negatief kan zijn.
Stel E(Y) = m. Volgens algemene eigenschap van vw verwachting geldt voor iedere stochast Z dat E(Z) = E(E(Z|X)), dus ook E(Y') = m
Verder geldt E(f(X)Y|X) = f(X)E(Y|X).
Als we dit allemaal gebruiken en we weten al dat E(Y|X)= f(X) dan vinden we voor de covariatie van Y en Y' :
Cov(Y,Y')= E(YY') - E(Y)E(Y') =
E(E(YY'|X)) - m^2 = E(E(Yf(X)|X)) -m^2 =
E(f(x)E(Y|X)) - m^2 = E(Y' Y') - m^2
En dit laatste is gewoon de variantie van Y' en die is nooit negatief, maar kan wel nul zijn namelijk als Xen Y onafhankelijk zijn.Dan is E(Y|X) = E(Y) = m constant.
Zo, heb ik mooi jouw huiswerk zitten maken.
Het is dus gewoon rechttoe rechtaan de eigenschappen van de voorwaardelijke verwachting toepassen en je komt er.
succes verder met je studie

JCS
13-10-2004