WisFaq!

Re: Re: Re: Karakteristiek van een ring

Hallo,

Misschien was het wel een vreemde vraag, maar stond wel zo in een boek.Je schrijft

"Als je echt eist dat heel R (inclusief de nul) een groep is voor de vermenigvuldiging, dan kan dat inderdaad enkel in de nulgroep."
Dit is precies wat ik wil bewijzen.Ik begrijp nog niet waarom R dan de nulring moet zijn.

Groeten,

Viky

viky
22-9-2004

Antwoord

Haja, dus toch zo? Had ik niet gedacht...

Stel dat je niet de nulring hebt, dus je hebt een element 0 (gedefinieerd als het neutraal element voor de optelling), en nog minstens één ander element. Je eist dat de hele verzameling een groep vormt voor de vermenigvuldiging. Dat betekent onder meer dat er een element '1' bestaat, het neutraal element voor de vermenigvuldiging. Het betekent ook dat elk element, ook de nul, een invers moet hebben voor de vermenigvuldiging, dus voor elke x bestaat er een y zodat xy=1.

Echter, voor elke a en b uit je verzameling geldt dat:
ab = a(b+0) = ab+a*0 dus a*0 = ab-ab = 0.
Dus eender welk element maal nul, is nul. Dus voor nul kan je geen invers y vinden waarvoor 0*y=1.

NB: merk op dat 0 en 1 verschillende elementen zijn in een niet-nulring, want als 0=1 dan heb je a*1=a en a*1=a*0=0, en dat is strijdig van zodra a¹0. Dit is ook de reden waarom je in een nulring wel hebt dat de elementen (nuja, het ene element) een groep vormen onder de vermenigvuldiging: dan zijn neutraal element voor optelling en verm. allebei nul, en dan zorgen de uitdrukkingen 0+0=0 en 0*0=0 niet voor strijdigheden.

Groeten,
Christophe.

Christophe
22-9-2004