WisFaq!

Limieten

Ik heb het volgende probleem dat ik niet snap waarmee ik zou moeten beginnen bij de volgende opdrachten en hoe ik weet dat ik het heb aangetoond.

- Toon aan dat lim xcos(1/x)= 0 als x naar 0 gaat. (epsilon-delta bewijs)
- Toon aan dat lim (x/e^x )= 0 als x naar oneindig gaat

alvast bedankt, jantine

jantine de jong
17-9-2004

Antwoord

dag Jantine

Als je een limiet zoals deze eerste moet aantonen met een epsilon-delta bewijs, moet je beginnen met een zekere e0 te stellen, en vervolgens aan te tonen dat er een d te vinden is, uitgedrukt in e, zodat:
als |x|d
dan is
|x·cos(1/x)| e.
In dit geval weet je dat de cosinusfunctie alleen maar waarden aanneemt tussen -1 en 1 (met de grenzen erbij).
Dus als je voor d juist de waarde e zelf kiest, weet je dat
|x·cos(1/x)| |x|·1 d = e
waarmee de limiet bewezen is.
Voor de tweede limiet moet je bij een zekere e0 een waarde N vinden, zodat, als xN, dan is |x/exp(x)|e.
Nu weet je, bijvoorbeeld uit de reeksontwikkeling van exp(x), dat exp(x) voor positieve x zeker groter is dan 1 + x + x²/2, dus zeker groter dan x²/2
Lukt het vervolg van de tweede limiet nu zelf? Probeer het eens, en laat het weten hoever je gekomen bent als je er toch niet helemaal uit komt.
succes.

Anneke
17-9-2004