WisFaq!

Formule speciale cycloide

Ik zou graag de formule willen weten (als hij bestaat) van een cycloide, gemaakt door een ellips ipv een cirkel.
Het is de bedoeling dat de ellips een draaiende beweging maakt op de omtrek van een grotere cirkel.

Chris
7-9-2004

Antwoord

Hier is een recept om de formule zelf op te stellen.
Een parametervoorstelling van de cirkel is (cos(t),sin(t)).
De ellips kan men (in een meedraaiend assenstelsel) parametriseren door X=(1/c)(a·sin(t), b·cos(t)-b) met c=√(a²+b²), zodat men voor t=0 beginpunt (0,0) heeft en de booglengte tussen beginpunt en punt bij t gelijk is aan t.
Als de ellips over de boog t van de cirkel gedraaid is, heeft het punt van de ellips dat aanvankelijk in (1,0) aan de cirkel raakte inmiddels coordinaten
(1+p(t))(cos(t),sin(t))+q(t)(sin(t),-cos(t)),
waarbij men p(t) en q(t) berekent als de lengten van de lijnstukken P en Q binnen de ellips zodanig dat
0) het beginpunt van P is X,
1) P loodrecht staat op de raaklijn te X aan de ellips,
2) het eindpunt van P is het beginpunt van Q,
3) Q loodrecht staat op P,
4) Q heeft eindpunt (0,0)(in het met de ellips meedraaiend assenstelsel).
Het berekenen van p(t) en q(t) is een kwestie van betrekkelijk eenvoudige vectormeetkunde.

hr
9-9-2004