WisFaq!

Afleidbaarheid in 0

Gegeven functie :
1/2x + 1/2 |x|
en ik moet aantonen dat ze een afgeleide heeft in 0

x0 f(x)=x
en
x0 f(x)=0

en om de afleidbaarheid te onderzoeken moet ik dus aantonen dat de linkerafgeleide gelijk is aan de rechterafgeleide ?
en die linkerafgeleide is 0 en de rechterafgeleide is 1
en als ik men grm erbij haal krijg ik op x=0 te zien dat afgeleide 0.5 is

wat moet ik nu zeggen over de afleidbaarheid van die functie in 0

Groet , Dirk

Dirk
14-8-2004

Antwoord

Algemeen geldt: de functie f noemen we afleidbaar (of differentieerbaar) in a indien de limiet voor x gaande naar a van ^f(x)-f(a)/_x-a bestaat in . Deze limiet noemen we de afgeleide van f in a en noteren we door f'(a).

Wanneer bestaat een limiet? Als zowel de linker- als rechterlimiet (x gaande naar dezelfde reële a) dezelfde reële waarde aanneemt.
Indien x een negatieve waarde aanneemt dan wordt de functie f(x) = ¹/₂x + ¹/₂(-x) Þ f(x) = ¹/₂x - ¹/₂x Þ f(x) = 0. Oftewel de vergelijking van de x-as (dus vanaf 0 trek je een streep die samenvalt met de x-as naar links).

Indien de x-waarden positief zijn, wordt de functie g(x) = ¹/₂x + ¹/₂x Þ g(x) = x. En aangezien g(0) = 0 vertrekt de functie vanaf 0 en gedraagt zich lineair bij toenemende x-waarden.

Zoals je weet is de afgeleide van een constante functie 0, en is de afgeleide van x, dus x' = 1. Dus links van 0 is de afgeleide functie 0, en rechts van 0 is de afgeleide functie 1.

Wat netter genoteerd
En aangezien de linker- en de rechterafgeleide in 0 niet aan elkaar gelijk zijn, is de functie niet in 0 afleidbaar.

Davy
15-8-2004