WisFaq!

Bereken de matrix van een afbeelding

Hallo,
De vraag luidt als volgt:

Gegeven is de afbeelding T van R3 naar R3 door
T(x,y,z) = (x + y, x + z, y + z)
Bereken de matrix van T ten opzichte van de basis
B = { (1,2,1) , (2,1,3) , (4,1,0) }

Ik heb het volgende gedaan:
De matrix die (x,y,z) op (x+y, x+z, y+z) afbeeldt is (1,1,0 ; 1,0,1 ; 0,1,1)

Om de kolommen van de matrix T te vinden ten opzichte van de basis B heb ik bovenstaande matrix "losgelaten" op de basisvectoren van basis B, want de kolommen van matrix T zijn de beelden van de basisvectoren, dus

(1,1,0 ; 1,0,1 ; 0,1,1)* (1 ; 2 ; 1) = (3 ; 2 ; 3)
(1,1,0 ; 1,0,1 ; 0,1,1)* (2 ; 1 ; 3) = (3 ; 5 ; 4)
(1,1,0 ; 1,0,1 ; 0,1,1)* (4 ; 1 ; 0) = (5 ; 4 ; 1)

Dus ik vind voor de matrix van T:
(3,3,5 ; 2,5,4 ; 3,4,1)

Doe ik dit goed? Want echt begrijpen doe ik het niet.
Kan ik deze procedure bijvoorbeeld ook controleren aan de hand van een concreet "roosterpunt" zodat ik me er een betere voorstelling van kan maken?
Ik ben benieuwd naar een reactie.

Gerrit
14-7-2004

Antwoord

Hoi Gerrit,

hoewel je al een eind in de goede richting bezig bent, heb je het nog niet helemaal goed gedaan. Zoals je zelf al noemt moeten de kolommen van T de beelden van de basisvectoren zijn. Dat heb je dus goed gedaan.
Alleen: je hebt de beelden nu nog uitgedrukt in termen van de standaard-basis {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Om de matrix van de afbeelding t.o.v. van de genoemde basis te krijgen, moeten de kolommen van de matrix gelijk zijn aan de beelden van de basisvector, uitgedrukt in termen van deze zelfde basisvectoren.
Dus, als kolom 1 van de matrix gegeven wordt door (t_1,1 ; t_2,1 ; t_3,1), dan betekent dat dat het beeld (3;2;3) van de eerste basisvector (1;2;1) geschreven wordt als
(3;2;3) = t_1,1 (1;2;1) + t_2,1 (2;1;3) + t_3,1 (4;1;0).
Je vindt de juiste matrix dus door de door jou gevonden matrix die de beelden van de genoemde basis uitdrukt in de standaardbasis door links te vermenigvuldigen met de inverse van de basistransformatie-matrix (de matrix waarvan de kolommen de basisvectoren zijn).
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

P.S. Uiteraard kun je je antwoord controleren met behulp van een concreet punt. Het idee is dat je de afbeelding in de standaard-coordinaten uitrekent met de matrix (1,1,0;1,0,1;0,1,1) en in termen van de alternatieve basis met behulp van de nog te vinden matrix. Een heel eenvoudig voorbeeld: je kunt bepalen wat het beeld van de vector (2;4;2) is: in de gewone coordinaten wordt dat duidelijk (6;4;6). De coordinaten van (2;4;2) ten opzichte van de nieuwe basis is (2;0;0). De nog te vinden matrix hierop loslaten geeft... (in termen van de nieuwe basis!) dan kun je weer kijken wat dat betekent in termen van de standaard-coordinaten. Als het goed is vindt je op die manier ook (6;4;6).
Ik hoop dat je hier wat aan hebt.

gt
16-7-2004