WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 29 maart 2024

Cirkel in ellips

Hoe kan ik "a" van een ellips bepalen bepalen opdat de cirkel juist binnen de ellips valt? (De ellips mag de cirkel niet snijden).

ellips: x2/a2+y2/352=1 en cirkel: x2+(y-17.5)2=17.52

a moet dus in ieder geval groter zijn dan 17.5

groeten,

Rolf

rolf
2-7-2004

Antwoord

Hieronder zijn ellips en cirkel getekend voor a=20.

q25986img1.gif

Naarmate a groter wordt zal de ellips breder worden en zullen de drie snijpunten over de cirkel naar elkaar toewandelen. Voor zekere waarde van a vallen de drie snijpunten samen in het punt (0,35).
We gaan cirkel en ellips met elkaar proberen te snijden.
Daartoe gaan we de vergelijkingen eerst wat vereenvoudigen.
De cirkel:
x2+(y-17.5)2=17.52 levert x2+y2-35y+17.52=17.52 dit kunnen we omschrijven tot x2=35y-y2.
De ellips:
x2/a2+y2/352=1 kunnen we omschrijven tot 352x2+a2y2=352a2.
Hierin vullen we x2=35y-y2 in.
Dit levert:
352(35y-y2)+a2y2=352a2
352(35y-y2)+a2y2-352a2=0
352y(35-y)+a2(y-35)(y+35)=0
(y-35)(-352y+a2(y+35))=0
y=35 of -352y+a2(y+35)=0
y=35 of (a2-352)y+35a2=0
y=35 of y=-35a2/(a2-352)
Je vindt dus altijd een gemeenschappeleijk punt met y=35.
y=-35a2/(a2-352) mag nu geen oplossingen hebben waarvoor geldt 0y35.
Hieronder zie je een grafiek van y als functie van a:

q25986img2.gif

De grenswaarde die hoort bij y=35 kun je vinden door -35a2/(a2-352) gelijk te stellen aan 35.
-35a2/(a2-352)=35 levert -a2/(a2-352)=1
-a2=a2-352 dus 2a2=352 dus a2=352/2, dus a=+/-35/Ö2
Conclusie er zijn geen andere gemeenschappelijke punten dan het punt (0,35) als geldt a35/Ö2 of als a-35/Ö2

hk
3-7-2004


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#25986 - Analytische meetkunde - Student hbo