WisFaq!

Oplossing exponentiele vergelijking p^p=x

Hallo,

Ik heb de volgende vraag:

Stel ik heb p^p=1,5 - Hoe los ik dat op!?
Ik heb het met logaritmische rekenregels proberen aan te pakken, maar het lijkt mij onmogelijk..

Met vriendelijke groet, JM

Jan-Martin
2-7-2004

Antwoord

Hallo Jan-Martin,

Er zijn een heleboel wiskundige problemen waarvan we wel weten dat er in principe een oplossing voor is, maar die niet als een "formule in termen van elementaire functie" uit te drukken is. Zie ook Complexe Logaritmische vergelijking.

Een ervan is de oplossing van de vergelijking y·e^y=x naar y. Jouw probleem kan hiernaar herschreven worden en heeft dus ook geen oplossing die in een formule is uit te drukken:
p^p=a, neem logaritme en deel door p:
ln(p) = ln(a)/p, neem nu de e-macht en vermenigvuldig met ln(a)/p:
ln(a)/p · e^ln(a)/p = ln(a)/p.
Noem nu y=ln(a)/p en x=ln(a), dan heb je precies de vergelijking waarvan ik vrij zeker weet dat er geen expliciete formule voor bestaat...
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

P.S. Een bewijs heb ik zelf ook nog nooit gezien, maar dat hebben maar erg weinig wiskundigen, zo ingewikkeld is het kennelijk. Zelfs een beroemde nederlandse hoogleraar die ik er laatst naar vroeg vertelde mij dat hij het bewijs nog nooit bekeken had, en dat zegt wat want die man weet bijna alles op het gebied van de wiskunde/analyse.

gt
2-7-2004