WisFaq!

Vergelijking met integraal

Alweer een vraag, maar heb volgende week een toelatingsexamen, dus ben heel hard oefenvragen aan het maken;

Toon aan, dat als u(x) en v(x) afleidbare functies zijn, deze formule geldt;

òu(x)dv(x) = u(x)v(x) - òv(x)du(x)


Bedankt alvast!

mirella
1-7-2004

Antwoord

Je hebt het hier over de regel van de zogenaamde partiële integratie. Deze regel is het gevolg van de productregel uit de differentiatie.
Vooraf even twee opmerkingen.
Ten eerste: als je een functie f differentieert, dan krijg je de afgeleide functie f'.
Als je f' daarna weer integreert, dan krijg je uiteraard f weer terug. Hier herken je het feit dat differentiëren en integreren tegengestelde handelingen zijn.
En ten tweede: als u een functie van x is, dan geldt voor de afgeleide du/dx = u' ofwel du = u'.dx

Dan nu het bewijs waar je naar vraagt, waarbij ik voor het gemak de letter x soms weglaat.

Volgens de produktregel van differentiëren geldt [u.v]' = u'.v + u.v'

Als je nu gaat integreren, dan krijg je links weer u.v terug (op grond van de eerste gemaakte opmerking).
Er komt dus te staan: u.v = òu'.v + òu.v'

Maar hierin kun je aan de rechterkant voor u'.dx schrijven du en idem voor v'dx kun je schrijven dv (bedenk dat achter het integraalteken nog dx had geschreven moeten worden)

Alles overziend heb je nu dus u.v = òv.du + òu.dv en dat is precies wat je wilde bewijzen.

Afsluitend: deze regel voor partiële integratie is een heel krachtig instrument om integralen te bepalen. Je zult hem dan ook heel vaak gaan toepassen, denk ik.

MBL
1-7-2004