WisFaq!

Goniometrische en cyclometrische functies

Voor het examen krijgen we zeer waarschijnlijk de vraag om het snijpunt tussen de sinus van x en zijn inverse te vinden. Maar dit moeten we algebraïsch doen, ik totaal geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. Zouden jullie me hierbij kunnen helpen?
echt al heel erg bedankt

De Rocker Melanie
6-6-2004

Antwoord

Dag Melanie,

Meetkundig zie je direct dat het punt (0,0) het enige snijpunt is van y=sin(x) en y=Bgsin(x). Hoe kan je dit algebraïsch verklaren... Je zoekt dus punten (x,y) waarvoor y=sin(x) en x=sin(y). Bovendien liggen x en y duidelijk in het interval [-1,1], want zowel x als y is een sinus van iets.

Stel dat je een oplossing hebt met x0. Dan geldt:
x=sin(y)=sin(sin(x)). Maar voor xÎ ]0,1] geldt dat xsin(x). Dus xsin(x)sin(sin(x)), en je kan dus nooit die gelijkheid hebben. Het geval x0 gaat volstrekt analoog.

Als je twijfelt aan die xsin(x) voor positieve x, kan je bedenken dat y=x (de rechte dus) rico 1 heeft, terwijl de functie y=sin(x) rico cos(x) heeft, dus altijd kleiner dan of gelijk aan 1. De twee functies starten dus in hetzelfde punt (0,0), maar y=sin(x) heeft steeds een kleinere rico, vandaar sin(x)x voor x0.

Groeten,
Christophe.

Christophe
6-6-2004