WisFaq!

Enkele vraagjes over afgeleide ln(x)

hallo
bij een bewijs over y=lnx is er een overgang:
lim 1/h ln(1+h/x) = 1/x lim ln(1+h/x)^(x/h)
=1/x · ln lim(1+h/x)^(x/h)
de limieten zijn voor h®0
mijn vraag: hoe komt plots de 1/x voor de limiet en (x/h) als macht? en hoe komt in de laatste regel plots de ln voor de limiet?

mvg
Dennis

Dennis
28-5-2004

Antwoord

Het is de bedoeling om bij het getal e uit te komen met
e = lim(1 + k)^1/_k voor k®0

We hebben lim ¹/_h.ln(1+^h/_x) voor h®0 (*)

^h/_x stellen we gelijk aan k zodat k®0 als h®0

¹/_k moeten we dus als exponent proberen te krijgen.

Daarom maken we van (*) :
lim ¹/_x.^x/_h.ln(1+^h/_x)

De factor ¹/_x heeft met de limiet niets te maken (want h®0) en zetten we dus voor de limiet.

De factor ^x/_h = ¹/_k kunnen we schrijven als exponent (eigenschap van ln).

We hebben ¹/_x.lim ln(1+^h/_x)^x/_h = ¹/_x.lim ln(1+k)^1/_k voor k®0

Nu is lim f(g(x)) = f(lim g(x)) (eigenschap van limieten)

Dus lim ln g(x) = ln lim g(x)

Dus krijgen we ¹/_x.ln lim(1+k)¹/_k voor k®0 = ¹/_x.ln e = ¹/_x

LL
28-5-2004