WisFaq!

Legendre-relatie

Hallo team wisfaq,

Ik wil de volgende twee feiten aantonen over de Weierstrass-Zeta-functie
Z(z)=1/z+SOM[1/(z-w)+1/w+z/w^2], w=mw1+nw2
1.Z(z) is oneven.Als ik Z(-z) en -Z(z) uitschrijf zijn ze niet gelijk aan elkaar.Nu heb ik het volgende hierover gelezen maar deze begrijp ik niet:
-Omdat w door -w vervangen kan worden zonder de som te veranderen (waarom verandert de som niet?), is Z(z) een oneven functie van z.
-Het veranderen van het teken van z en tegelijkertijd het verwisselen van ieder paar van elementen (+/-)w in de som, verandert alleen het teken van iedere term.
Telkens als ik Z(-z) en -Z(z) uitschrijf en w vervang door -w, of z vervang door -z, of tegelijkertijd, Z(-z) is nooit gelijk aan -Z(z).

2.Zij (w1,w2) een paar van basisperioden van de Weierstrass-Pfunctie, zodat Im(w2/w1)0, dan

e1w2-e2w1=pi*i.
(Legendre-relatie).

[Z(z) heeft de volgende eigenschappen,
Z(z+w1)=Z(z)+2e1, e1=Z(w1/2), en Z(z+w2)=Z(z)+2e2, e2=Z(w2/2)]
Ik heb het volgende bewijs waar ik enkele vragen over heb.
Bewijs
Kies een geschikte perioden-parallellogram van P(z) met als hoekpunten A=-w1-w2/2, B=w1-w2/2, C=w1+w2/2 en D=-w1+w2/2, op zo'n manier dat de (pool van P(z) in )de oorsprong in het centrum zit.
Vraag1.De weg van integratie mag niet door een pool gaan. Waarom is dit zo?De parallellogram bevat een pool met residue 1. Waarom een pool en wat is de orde van deze pool?

Volgens de theorie van Cauchy hebben we nu
INT[Z(z)dz](overABCD)=2pi*i

Aan de andere kant hebben we

INT[Z(z)dz](over CD)=INT[Z(z+w2)dz](over BA)=INT[Z(z)dz](BA)+INT[2e2dz](BA)=INT[Z(z)dz](BA)-2e2w1,

Vraag2.Waarom is INT[Z(z)dz](CD)=INT[Z(z+w2)dz](BA)?

zodat INT[Z(z)dz](BA)+INT[Z(z)dz](CD)=-2e2w1,

en op dezelfde manier hebben we dat

INT[Z(z)dz](BC)+INT[Z(z)dz](DA)=2e1w2,

en dit geeft samen met INT[Z(z)dz](overABCD)=2pi*i,
het gevraagde.
De rest van het bewijs is duidelijk.

viky
16-5-2004

Antwoord

Viky,

Z(z) = 1/z + å(1/(z-w)+1/w+z/w²)
Z(-z) = 1/(-z) + å(1/(-z-w)+1/w+(-z)/w²)
= -1/z + å(-1/(z+w)-1/(-w)-z/(-w)²)
= -{1/z + å(1/(z-(-w))+1/(-w)+z/(-w)²)}
= -Z(z)

Die laatste overgang is allicht je probleem. Nochtans is die stap correct: je sommeert telkens over alle niet-nul traliepunten. Maar als w een traliepunt is, is -w dat ook. Dus in je sommatie zal je een keer een term hebben voor het traliepunt 2w₁+3w₂ en ook een term voor het traliepunt -2w₁-3w₂.

Zie je nu in dat åf(w)=åf(-w)? Aja, het eerste is
f(w₁)+f(-w₁)+f(w₂)+f(-w₂)+f(w₁+w₂)+f(-w₁-w₂)+...

En het tweede is:
f(-w₁)+f(w₁)+f(-w₂)+f(w₂)+f(-w₁-w₂)+f(w₁+w₂)+...
En das dus juist hetzelfde...

2. Waarom mag de integratieweg geen pool bevatten? Wel, Cauchy's stelling zegt juist dat je de contourintegraal rond een gebied kan berekenen aan de hand van de residus van de polen die BINNEN dat gebied liggen.

De stelling gaat niet op als je je contour botweg door een pool tekent. En daarbij, per periodeparallellogram is er maar één pool, dus zou het toch van slechte wil getuigen om juist daardoor je contour te willen trekken.

Het gevolg van deze kleine beperking is echter dat je niet kan werken met het meer voor de hand liggende parallellogram gevormd door 0, w₁, w₂, w₁+w₂. Want alle hoekpunten zijn traliepunten en dus polen.

Dit probleem heb je niet als je met het door jou voorgestelde parallellogram werkt.

Hoe herken je nu de polen, en hoe bereken je hun residu en hun orde? Een pool is hier gewoon een nulpunt van de noemer (maw een traliepunt). De orde is de multipliciteit van het nulpunt. Als de definitie dus was geweest
Z(z) = 1/z² + å(1/(z-w)²+1/w+z/w²)
dan was de orde twee geweest.

Hoe je aan dat verband tussen de integraal over CD en over BA komt, zou toch duidelijk moeten zijn? Maak maar eens een tekening om de ligging van A,B,C,D te zien. Dan zie je dat als je z laat lopen op CD, dat dat hetzelfde is als z+(w/2) te laten lopen op BA.

Groeten,
Christophe.

Christophe
17-5-2004