WisFaq!

Reeks met recursieformule

Hey wisfaq,

Gegeven is de rij met u(n+1)=4- 1/u(n), gegeven met recursie formule dus en u(o)=5

Nu wordt er gevraagd of de reeks
$\sum$ (van +$\infty$tot₀) u(k) zal convergeren of divergeren?

Ik snap niet goed wat ik dan als term u(k) moet nemen...
is dit gewoon 4-1/k of 4-1/(k-1) ?

alvast bedankt!

jul
14-5-2004

Antwoord

Zeker geen van beide! Er is toch wel een heel groot verschil tussen stellen dat

u(k+1) = 4 - 1/u(k)

en stellen dat

u(k+1) = 4 - 1/k

Wat er wel gebeurt is dat de functie f(x)=4-1/x ge-itereerd wordt. Het resultaat wordt dus opnieuw in de functie gestopt om een nieuw resultaat te bekomen. De iteratie van f kan dan recursief worden geschreven als u(n+1)=4-1/u(n), in woorden: de nieuwe term is 4 verminderd met het omgekeerde van de oude term.

Bepaal nu zelf de zogenaamde fixpunten van f, dit zijn de oplossingen van de vergelijking f(x)=x en in dit geval zijn het er twee. Een ervan is aantrekkend, het andere is afstotend. Die indeling gebeurt op basis van de waarde van |f'(x)| (bekijk je theorie!)

De limiet van u(k) voor k naar oneindig is hier de waarde van het enige aantrekkende fixpunt. Je zal merken dat deze waarde niet nul is en de reeks van een rij termen die naar een waarde gaat die niet nul is, divergeert.

Als de limiet wel nul was geweest, of niet had bestaan, dan was verder onderzoek nodig om tot de convergentie of divergentie te besluiten.

cl
15-5-2004