WisFaq!

Flux van vectorveld door oppervlak

Beste WisFaq medewerker,

Ik ben tegen het volgende probleem aangelopen. De som die ik probeer op te lossen luidt als volgt:
Bereken de flux van het vectorveld F = [x, y] (vectornotatie) door dat deel van het oppervlak z = 2-x²-y² dat boven het xy-vlak ligt. Dit kan uiteraard op 2 manieren; 1) de flux door het oppervlak op de brute manier te berekenen of 2) de divergentiestelling te gebruiken. Nu wil het feit dat ik bij beiden dicht in de buurt van het antwoord kom (2·$\pi$·√2), maar dichtbij is uiteraard niet genoeg..Overigens heb ik bij beide methoden een ander antwoord.

Mijn aanpak (divergentiestelling): de divergentie van F is 2, dus de gevraagde flux is 2 maal de inhoud van de figuur gevormd door het oppervlak en het xy-vlak. Op z=0, is de snijlijn van het oppervlak met het xy-vlak een ellips (x² + 2y² = 2), dus is het mijns inziens logisch over te gaan op poolcoordinaten. Hier begint denk ik het probleem:

Ik schrijf de ellips om naar de standaardvorm:
x²/2 + y² = 1

In poolcoordinaten: x = √2·r·cos(theta) en y = r·sin(theta).

De jacobiaan van een ellips in poolcoordinaten wordt: a·b·r, dus de integraal wordt uiteindelijk:
2·√2 · int(r dz dr dtheta), met:
0$\leq$r$\leq$1 (omdat de ellips herschreven is)
0$\leq$theta$\leq$2 $\pi$
0$\leq$z$\leq$2-2·r²·cos(theta)-r²·sin(theta)

Dit levert alleen het verkeerde antwoord op en ik heb geen idee waar het mis is gegaan. Kunt u mij uit de brand helpen ?

Met vriendelijke groet

Arnoud de Bruijn
10-5-2004

Antwoord

Hallo, Arnoud.
U bedoelt z=2-x²-2y²? (coëfficiënt 2 vergeten).
Bedoelt u [x,y,z] of [x,y,0] of misschien [x,y,1]? In het eerste geval is de divergentie 3, in de andere gevallen 2.
De Jacobiaan hoort bij een coördinatentransformatie, niet bij een ellips.
Het is een goed idee over te gaan op poolcoördinaten.
Bij overgang op poolcoördinaten (cylindercoördinaten) is de Jacobiaan r.
De inhoud is nu ¨°₀^2p¨°₀¹ ¨°₀^z(r,J)dz rdr dJ,
waarbij z(r,q)= 2-r²cos²(J)-2r²sin²(J) = 2-r²(1+sin²(q).
Nu moet u de integraal kunnen uitrekenen (substitueer s=r², gebruik vlak voor het einde een goniometrieformule voor cos(2q)).
En dan moet u nog aftrekken de flux door het deel van het oppervlak dat in {z=0} ligt (oppervlaktenormaal (0,0,-1)).
Succes!

hr
12-5-2004