WisFaq!

Bewijs rekenregel limiet

We hebben in de klas het bewijs voor de somregel van limieten gezien, maar die voor verschil blijkt niet analoog te verlopen
Kunnen jullie mij helpen om het volgende te bewijzen:
lim[f(x)-g(x)]=lim f(x)-lim g(x) (alles voor x gaande naar a)

Annelies
8-5-2004

Antwoord

Hoi Annelies

ik weet niet goed hoe jullie die somregel voor limieten bewezen hebben. Formeel met $\epsilon$-$\delta$ ?

Stel lim f(x) = F en lim g(x) = G.
Neem $\epsilon$ willekeurig. Bekijk ^$\epsilon$/₂; hierbij hoort een $\delta$₁$>$0: |x-a|$<\delta$₁ $\Rightarrow$ |f(x)-F|$<$^$\epsilon$/₂;
en een $\delta$₂$>$0: |x-a|$<\delta$₂ $\Rightarrow$ |g(x)-G|$<$^$\epsilon$/₂
Neem nu $\delta$=min($\delta$₁,$\delta$₂).
Uit |x-a|$<\delta$ $\Rightarrow$ |x-a|$<\delta$₁ $\Rightarrow$ |f(x)-F|$<$^$\epsilon$/₂
(analoog: |g(x)-G|$<$^$\epsilon$/₂).

Bekijk nu: |f(x)-g(x)-(F-G)| = /f(x)-F +(G-g(x))/ $\leq$ |f(x)-F| + |G-g(x)|
maar |G-g(x)| is toch hetzelfde als |g(x)-G| hé?
Kan je zelf de laatste regel neerschrijven?

Frank

FvE
8-5-2004