WisFaq!

Vaste punten van een schuifspiegeling

Hallo,

Ik heb hier een oefening waarin ik de vaste punten van een schuifspiegeling in de 2-dimensionale euclidische ruimte moet bepalen. Het is duidelijk dat zo'n vaste punten niet bestaan aangezien er een translatie plaatsvindt. Toch heb ik even alles in formules gezet:

Als R_S: E^2 - E^2: x - x + 2(xp_S(x)) de definitie van een spiegeling in E² is, met p_S(x) de orthogonale projectie van x op de as S, en (xp_S(x)) de verbindingsvector van x met de orthogonale projectie van x en de translatie T in de richting van b is, dan is een schuifspiegeling met as S van dat punt x gegeven door:

S(x) = (T o R)(x) = x + 2(xp_S(x)) + b = -x + 2p_S(x) + b

Als nu dat punt x een vast punt is geldt:
x = -x + 2p_S(x) + b
Û 2x = 2p_S(x) + b
Û x = p_S(x) + b/2

Nu mijn eigenlijke vraag is: hoe moet ik deze uitkomst interpreteren? Ik weet door bv een tekening te maken, dat er geen vaste punten zijn. Toch vind ik een oplossing voor x. Wat betekent dit?

Alvast bedankt voor enige hulp.

Mvg,

Tom

Tom
5-5-2004

Antwoord

Hallo Tom,

Hier zie je maar weer hoe berekeningen je kunnen behoeden voor overhaaste conclusies. Er kunnen wel degelijk vaste punten bestaan in het speciale geval dat b loodrecht op de spiegelas staat. Overigens noem je dat meestal geen schuifspiegeling. Dan eis je meestal ook nog dat b in de richting van de spiegelas ligt. Omdat x-p_S(x) loodrecht op S staat heb je inderdaad het bewijs geleverd dat er alleen vaste punten te vinden zijn als b^S.
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

gt
7-5-2004