WisFaq!

Afstand tussen twee punten

Hey, ik hoop dat het nu de laatste keer is voor ruimtemeetkunde dat ik jullie lastig val met mijn vragen..

Onderzoek of de volgende vergelijkingen een bol voorstellen en bereken eventueel de straal en het middelpunt.

x²+y²+z²-6y=0
$>$ deze niet zeker, maar waarom ?
2x²+2y²+2z²-4x+8y+4z+2=0

x²+y²+z²+2x-4y+6z+20=0

x²+y²+z²-x+2y-3z-1=0

2. Gegeven: a$<>$ x-2y+1=0
2y-z=0 en Q(1,1,2)
$>$ schrijf een parametervoorstelling voor a
$>$ bepaal nu de punten van a waarvan de afstand tot Q gelijk is aan 6

3. Bepaal de vergelijkingen van de bollen met de volgende gegevens:
$>$ Middelpunt M op de x-as en gaan doorA(2,0,-3)enB(4,-4,-1)
$>$ Middelpunt M op de rechte a $<>$ (x-3)/2=(y-4)/3=(z+1)/-3 en gaande door de punten A(5,3,6) en B(-3,-1,-2).

Hartelijk bedankt !

Myriam
5-5-2004

Antwoord

Dag Myriam

1. De vergelijking moet voldoen aan de algemene vergelijking
x² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
met co(M) = (-a,-b,-c) en r = Ö(a²+b²+c²-d)
Dus moet a²+b²+c²-d 0.

De eerste vergelijking voldoet hier perfect aan (a,b of c mogen 0 zijn! - dit heeft enkel voor gevolg dat M in een van de coördinaatvlakken ligt, of eventueel op een coördinaten-as)

Voor de andere vergelijkingen kun je onmiddellijk het (eventuele) middelpunt aflezen. De enige voorwaarde is dus nog dat a²+b²+c²-d0.
Enkel de derde vergelijking stelt geen bol voor.

2. Als je de parametervoorstelling hebt, kun je de coördinaat van ieder punt P van de rechte a schrijven als (2k+5,k+3,2k+6)
Druk uit dat de afstand van het punt P tot het punt Q gelijk is aan 6. Dit levert een vierkantsvergelijking op in k. Je bekomt dus twee waarden voor k. Hiermee vind je dus twee punten P₁ en P₂ van a.

3. Om de vergelijking te bepalen moet je in de algemene vergelijking van de bol (zie 1.) de vier onbekende coëfficiënten a, b, c en d bepalen.
a. Vemits het middelpunt M op de x-as ligt is de co(M) van de vorm (r,0,0). Dus b = c = 0.
De twee onbekenden a en d vind je uit de vergelijkingen die je bekomt door punten A en B in de algemene vergelijking van de bol in te vullen.
b. Stel weer de parametervoorstelling op van de rechte a (zoals in 2.) zodat je de coördinaat van ieder punt P van de rechte a kunt schrijven als (2k+3,3k+4,-3k-1).
Stel nu dat de afstand van het punt P tot punt A gelijk is aan de afstand van punt P tot punt B. Dit punt P is dan het middelpunt M van de bol. Je kent dus de onbekenden a, b en c. Door het punt A in te vullen in de algemene vergelijking vind je ook d. Punt B kun je gebruiken als controle.

LL
6-5-2004