WisFaq!

Geconjugeerd en diagonaal matirx

Ik heb 2 stellingen die ik moet bewijzen, maar waarvan ik niet weet hoe nu eigenlijk te beginnen:
1.Laat zien dat de enige matrix die geconjugeerd is met de scalaire matrix d*I_n de matrix d*I_n zelf is.
2.Bewijs dat de matrix [[1 1],[0 1]] niet diagonaliseerbaar.

Ik heb zelf een definitie geveormd van sclaire matrix: Matrix van vorm d*I_n (diagonaalmatrix met opdiagonaal dezelfde elementen)

Bij de eerstenzit denk ik het probleem er vooral in dat ik niet goed weet wat ik me voor moet stellen bij de stelling.
De tweede snap ik wel dat de stelling geldt, maar waar begin ik dan met bewijzen???
bij voorbaat dank
Erik

Erik
5-5-2004

Antwoord

Hallo Erik,

1. Twee matrices A,B zijn geconjugeerd als er een matrix C bestaat zodat
A=C^-1BC

Stel B=dI
A = C^-1BC
= C^-1dIC
= dC^-1C
= dI

Dus dI is de enige matrix die geconjugeerd is met dI.

2. Een matrix is diagonaliseerbaar als hij geconjugeerd is met een diagonaalmatrix. Gebruik stelling 2.1.4. van deze link (wat waarschijnlijk je eigen cursus is ). Bereken de eigenwaarden (twee keer 1) en de eigenvector-ruimte (dit blijkt alleen m*(1,0) te zijn). Die (1,0) is echter geen basis van ², zodat de matrix niet diagonaliseerbaar is.

Algemeen: als je een n*n-matrix krijgt, bereken dan alle eigenwaarden en alle bijhorende eigenvectoren. Als alle eigenwaarden verschillend zijn, zullen de eigenvectoren een basis vormen voor ⁿ. Als een eigenwaarde m1 keer voorkomt, moet de bijhorende eigenvectorruimte m-dimensionaal zijn opdat je matrix diagonaliseerbaar is.

Vb: de matrix
1 0
0 1
heeft dubbele eigenwaarde 1, maar als je naar de eigenruimte gaat kijken, zie je dat die tweedimensionaal is. Dus deze matrix is diagonaliseerbaar, en gelukkig maar want het is al een diagonaalmatrix.

Groeten,
Christophe.

Christophe
5-5-2004