WisFaq!

Ring

We moeten het volgende bewijzen:
a. -(-a) = a voor elke a Î V.
b. -a.b = -(a.b) voor alle a,b Î V.
c. -a.-b = a.b voor elke a,b Î V.

Voor a moet de volgende stelling gebruikt worden:
Voor elke ring geldt:
a. Er is maar één nulelement.
b. Elk element heeft maar één tegengestelde.

Voor b moeten de (ring)regel: de vermenigvuldiging is distributief over de optelling en de volgende stelling gebruikt worden:
Stelling: In elke ring geldt:
Voor elke a geldt a.n = n

Voor c moeten de antwoorden van a en b gebruikt worden.

Het lukt me niet om de bewijzen 'netjes' op te schrijven.

Kunnen jullie me helpen?

Godelieve

Godelieve van der Pas
25-4-2004

Antwoord

Beste Godelieve,

a. -(-a) is het tegengestelde van -a. Dus -(-a) + -a = 0 en ook a + -a = 0, want -a is het tegengestelde van a. Maar zo bezien zijn a en -(-a) beide tegengestelde van -a. Omdat 0 uniek is en het tegengestelde van -a ook uniek is, weten we dat -(-a) = a.

b. a.b + -a.b = (a+-a).b = 0.b = 0, dus -a.b is het tegengestelde van a.b, ofwel -a.b = -(a.b).

Om het helemaal netjes te maken moet je er nog wat aan schaven, maar dit zijn de basisideeën. Ik zou als ik jou was c. echt nog eens zelf proberen, en beginnen met -a.-b = -(a.-b) vanwege b.

Succes.

FvL
29-4-2004