WisFaq!

Limiet voor x naderend naar oneindig

Het lukt me niet de volgende limiet te bepalen:

lim (x naar oneindig) van (x/(x+1))^x.

Ik heb de functie als volgt herschreven:

(x/(x+1))^x = e^ln(x/(x+1))^x = e^xln(x/(x+1)) =

e^(xlnx-xln(x+1)) = e^xlnx/(e^xln(x+1)).

Echter ik slaag er niet in een uitdrukking te vinden waarmee de x naar oneindig te bepalen is. Toepassing van l'Hopital levert een nog uitgebreidere afleiding op, terwijl er volgens mij een elegante oplossing zou moeten zijn. Kan hem niet vinden, graag hulp hierbij!

Jan Schep
8-4-2004

Antwoord

Merk op dat (1+1/x)^x naar e nadert als x naar oneindig nadert. Dat is standaard, en in veel leerboeken te vinden.
Gebruik verder (x/(x+1))^x = ((x+1-1)/(x+1))^x = (1-1/(x+1))^x.
Dit kan men verder herleiden tot de volgende breuk:
(1-1/(x+1))^x+1/(1-1/(x+1)).
Hiervan nadert de noemer naar 1 en de teller naar 1/e. Dit laatste kan men bewijzen als volgt:
substitueer u=1/(x+1), zodat u¯0 als x®¥;
(1-u)^1/u = exp(ln(1-u)/u), en ln(1-u)/u nadert volgens l'Hôpital naar -1 (ga na), dus (1-u)^1/u naar exp(-1) = 1/e.

hr
8-4-2004