WisFaq!

Differentieren - buigpunt

Als de grafiek van een derde-graadsfunctie (van de vorm: f(x)=ax³+bx²+cx+d) 3 snijpunten 1, 2 en 3 met de x-as heeft, hoe kan je dan aantonen dat de x-coordinaat van het buigpunt (een derde-graadsfunctie heeft altijd precies 1 buigpunt) gelijk is aan de som van de 3 x-coordinaten van de snijpunten gedeeld door 3 ( x-coordinaat buigpunt = (x₁+x₂+x₃)/3 )?

Jan Schep
3-3-2004

Antwoord

Als de functie drie nulpunten heeft, kan je ze ook schrijven als:
f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)
Werk dit weer uit:
f(x)=ax³ - ax²(x₁+x₂+x₃) + ...x + ...

Maar de coëfficiënt van x² hebben we b genoemd, dus
b = -a(x₁+x₂+x₃) (*)

Anderzijds: een buigpunt betekent dat de tweede afgeleide nul wordt, dus:
6ax+2b=0
x=-b/(3a)

Vul de waarde voor b volgens (*) in en je bent er.

Groeten,
Christophe.

Christophe
3-3-2004