WisFaq!

Gonio identiteit

ik probeer de volgende identiteit te bewijzen:
sin3a = 4sinasin(p/3 +a) . sin(p/3 -a)
ik heb al geprobeerd van de som en verschilformules op de twee sinussen toe te passen en dan bekom ik een merkwaardig product maar verder raak ik niet meer
miss weet iemand de verdere oplossing ?
thx

jos
15-2-2004

Antwoord

Hoi,

Eerst ga ik sin(3x) herschrijven, want da's hetzelfde als sin(2x+x). Dit kunnen we anders schrijven door de somformule van Simpson te gebruiken.
Ter informatie sin(2x) = 2sin(x)·cos(x) en cos(2x)=cos²(x) - sin²(x) (de zogeheten verdubbelingsformules).

sin(2x + x) = sin(2x)·cos(x) + cos(2x)·sin(x)
= 2sin(x)cos(x)·cos(x) + (cos²(x)-sin²(x))·sin(x)
= 2sin(x)cos²(x) + cos²(x)sin(x) - sin³(x)
= 3sin(x)cos²(x) - sin³(x).

Nu moeten we laten zien dat het rechterlid hetzelfde is als het linkerlid.

4sin(x)·sin(¹/₃p+x)·sin(¹/₃p-x)
= 4sin(x)·(sin(¹/₃p)·cos(x) + cos(¹/₃p)·sin(x))·(sin(¹/₃p)·cos(x)-cos(¹/₃p)·sin(x))
= 4sin(x)·(¹/₂Ö3·cos(x) + ¹/₂sin(x))·(¹/₂Ö3·cos(x)-¹/₂sin(x))
En het cursieve gedeelte is van de vorm (a+b)(a-b) = a² - b² dus...
= 4·sin(x)·((¹/₂Ö3·cos(x))² - (¹/₂·sin(x))²)
= 4·sin(x)·(³/₄·cos²(x) - ¹/₄·sin²(x))
= 4·sin(x)·³/₄·cos²(x) - sin³(x)
= 3·sin(x)·cos²(x) - sin³(x)

Ik hoop dat alles duidelijk is, zo niet reageer dan direct.

Groetjes,

Davy.

Davy
15-2-2004