WisFaq!

geprint op vrijdag 19 juli 2019

Gonio identiteit

ik probeer de volgende identiteit te bewijzen:
sin3a = 4sinasin(p/3 +a) . sin(p/3 -a)
ik heb al geprobeerd van de som en verschilformules op de twee sinussen toe te passen en dan bekom ik een merkwaardig product maar verder raak ik niet meer
miss weet iemand de verdere oplossing ?
thx

jos
15-2-2004


Antwoord

Hoi,

Eerst ga ik sin(3x) herschrijven, want da's hetzelfde als sin(2x+x). Dit kunnen we anders schrijven door de somformule van Simpson te gebruiken.
Ter informatie sin(2x) = 2sin(x)Ěcos(x) en cos(2x)=cos2(x) - sin2(x) (de zogeheten verdubbelingsformules).

sin(2x + x) = sin(2x)Ěcos(x) + cos(2x)Ěsin(x)
= 2sin(x)cos(x)Ěcos(x) + (cos2(x)-sin2(x))Ěsin(x)
= 2sin(x)cos2(x) + cos2(x)sin(x) - sin3(x)
= 3sin(x)cos2(x) - sin3(x).

Nu moeten we laten zien dat het rechterlid hetzelfde is als het linkerlid.

4sin(x)Ěsin(1/3p+x)Ěsin(1/3p-x)
= 4sin(x)Ě(sin(1/3p)Ěcos(x) + cos(1/3p)Ěsin(x))Ě(sin(1/3p)Ěcos(x)-cos(1/3p)Ěsin(x))
= 4sin(x)Ě(1/2Í3Ěcos(x) + 1/2sin(x))Ě(1/2Í3Ěcos(x)-1/2sin(x))
En het cursieve gedeelte is van de vorm (a+b)(a-b) = a2 - b2 dus...
= 4Ěsin(x)Ě((1/2Í3Ěcos(x))2 - (1/2Ěsin(x))2)
= 4Ěsin(x)Ě(3/4Ěcos2(x) - 1/4Ěsin2(x))
= 4Ěsin(x)Ě3/4Ěcos2(x) - sin3(x)
= 3Ěsin(x)Ěcos2(x) - sin3(x)

Ik hoop dat alles duidelijk is, zo niet reageer dan direct.

Groetjes,

Davy.

Davy
15-2-2004


© 2001-2019 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#20292 - Goniometrie - 3de graad ASO