WisFaq!

Vereenvoudiging vergelijking met sinus

Kunt u mij uitleggen hoe de volgende vereenvoudiging tot stand komt?

sin(3a) = 3sin(a) - 4sin3(a)
= 4sin(a)[(Ö(3) / 2)2 - sin2(a)]
= 4sin(a)[sin2(60o) - sin2(a)]
= 4sin(a)(sin(60o) + sin(a))(sin(60o) - sin(a))
= 4sin(a) 2sin[(60o) + a)/2]cos[(60o) - a)/2] 2sin[(60o) - a)/2]cos[(60o) + a)/2]
= 4sin(a)sin(60o + a)sin(60o - a)

JvP
13-2-2004

Antwoord

Beginnen we met de eerste gelijkheid:
sin(3a) = sin(2a + a) = sin(2a).cos a + cos(2a).sin a =
2.sin a.cos²a + (cos²a - sin²a).sin a =
2.sin a.(1 - sin²a) + (1 - 2.sin²a).sin a =
3.sin a - 4.sin³a
We gaan nu verder door 4.sin a af te zonderen:
4.sin a.(³/₄ - sin²a) =
4.sin a.((^Ö3/₂)² - sin²a)
Met de sin 60° = ^Ö3/₂ wordt dit
4.sin a.(sin²60° - sin²a) =
4.sin a.(sin 60° - sin a).(sin 60° + sin a) =
(formules van Simpson)
4.sin a.2.cos^{(60° + a)}/₂.sin^{(60° - a)}/₂.2.sin^{(60° + a)}/₂.cos^{(60° - a)}/₂ =
(omgekeerde formules voor de sinus van een dubbele hoek)
4.sin a.sin(60° + a).sin(60° - a)

LL
13-2-2004