WisFaq!

Homogene vergelijking

LS,
zou u ons misschien de definitie van een homogene vergelijking kunnen geven. We hebben al op internet gekeken maar we kunnen nergens echt een definitie vinden,
bvd, marian, roxan, ellen en paul

marian
4-2-2004

Antwoord

Uit de volgende vraag die jullie gesteld hebben maak ik op dat het hier gaat om differentiaalvergelijkingen.
Het begrip homogeen wordt in dit verband meestal gebruikt in combinatie met het begrip lineair.
Een lineaire differentiaalvergelijking heeft de algemene vorm:
a_n(x)·y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)·y^(n-1) + ... + a₁(x)·y' + a₀(x)·y = f(x)
Met y⁽ⁿ⁾ bedoel ik de n-de afgeleide van y.
De bijbehorende homogene vergelijking is dan de vergelijking met hetzelfde linkerlid, maar waarbij het rechterlid (f(x)) gelijk is aan 0.
Voorbeeld:
y'' + x·y' + sin(x)·y = cos(x)
heeft als bijbehorende homogene vergelijking
y'' + x·y' + sin(x)·y = 0
Wat betreft de vraag over particuliere oplossingen:
Dat algemene oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking is opgebouwd uit een homogeen deel en een particulier deel.
Het homogene deel is de oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking, en daar zitten ook alle vrijheidsgraden (integratieconstanten) in.
Een particuliere oplossing is een specifieke oplossing voor y waar juist het (oorspronkelijke) rechterlid als resultaat uit komt.
Hopelijk is dit een antwoord op jullie vragen.
groet,

Anneke
4-2-2004