WisFaq!

2e orde differtiaal vergelijking

een gewicht van 4kg wordt met een snelheid van 200 m\s op een hoogte van 1000 meter naar beneden geschoten. de lucht weerstand is 0.8 de vraag is hoever is deze massa na 5 sec.

de vergelijking die ik gebruikt heb(meerder overgens) loop ik steeds klem, met een gewone differentiaal vegelijk kom ik er wel uit maar niet met de 2e orde (de krachten naar beneden zijn negatief

-fz+fv-fd=fr
-0.8s'+40=4s''
delen door 4
s''+0.2s'+10=0
dan de ABC formule alleen kan ik de 10 niet weg werken!

Bert Bekker
15-1-2004

Antwoord

Richt de x-as naar boven en leg de oorsprong op de grond. De krachten die inwerken op het gewicht zijn:

* de zwaartekracht, gelijk aan -mg
* een wrijvingskracht (die jij blijkbaar modelleert als een kracht die evenredig is met de snelheid), gelijk aan -wx', met w een wrijvingscoefficient.

Volgens Newton zal het gewicht dus bewegen volgens de differentiaalvergelijking

mx" = -mg-wx'
x" = -g-ax'
x" + ax' = -g

met a=w/m. Deze kan je oplossen met de gekende technieken voor differentiaalvergelijkingen met constante coefficienten (bepalen van algemene oplossing van de homogene vergelijking + particuliere oplossing van de volledige vergelijking). Merk op dat deze vergelijking wel van een betrekkelijke eenvoud is: ze is van de tweede orde in x maar ook eerste orde in de onbekende x'. Er is nog een lichtjes andere manier, die ik hier zal gebruiken, maar daar ben je natuurlijk vrij in:

x"·e^at + ax'·e^at = -g·e^at
[x'·e^at]' = -g·e^at
x'·e^at = -(g/a)·e^at + C₁
x' = -(g/a) + C₁·e^-at

x = -(g/a)t + (C₁/a)·e^-at + C₂

De constanten C₁ en C₂ volgen uit de beginvoorwaarden x(0)=1000 en x'(0)=-200. De limietsnelheid voor t®¥, -g/a, had je ook meteen uit de vergelijking kunnen halen. Merk op dat na het overgangsverschijnsel, het gewicht met een nagenoeg constante snelheid naar beneden dwarrelt.

cl
16-1-2004