WisFaq!

Re: Machtreeks

inderdaad deze manier is mij eigenlijk ook wel duidelijk (via taylor reeks), maar ik heb het meer over een machtreeks, die wordt ontwikkeld rond een punt x (waar x dus niet is gedefineerd). Ik heb bijvoorbeeld e^x, die wordt vereenvoudigd tot 1+z+z²/2!+z³/3!+.............
maar deze is niet gedaan mbv taylor, want dan zouden er termen met e-machten in moeten komen?!
Net zo is bij het voorbeeld 1/(1+z), waar er geen taylor-reeks wordt gevormd, maar een bepaalde reeks:1-z+z²-z³+z⁴.........
Met andere woorden, hoe bewijs ik dat deze reeksen kloppen??

vriendelijke groet
Erik

Erik
15-1-2004

Antwoord

Je hebt het fout. Vergeet niet dat de afgeleiden die in de Taylorreeks voorkomen geevalueerd worden in een specifiek punt en dus getallen voorstellen. Dat punt heet niet x. Een machtreeks in x, is er eigenlijk een in (x-0) en heet een machtreeks 'rond het punt 0', dus a=0.

Voor e^x zijn bijvoorbeeld alle afgeleiden in het punt x=0 gelijk aan 1, wat meteen aanleiding geeft tot 1+z+z²/2!+...
En ja, ook de gegeven reeks voor 1/(1+z) is een Taylorreeks.

cl
15-1-2004