WisFaq!

Toon aan waarom een Lissajous figuur gesloten is

Ik volg de opleiding industrieel ingenieur en heb voor m'n wiskunde examen 5 hoofdvragen gekregen. Een daarvan was de formule van de harmonische trilling af te leiden. Nu moet ik als 'toepassing' de definitie van lissajous figuur geven. En uitleggen met een voorbeeld (waar ik frequenties 12$\pi$ en 25$\pi$ moet gebruiken) waarom een lissajous gesloten is.
En daar zit het probleem

Ik heb dus

X(t) = A1 sin ($\omega$1t + $\phi$)
Y(t) = A2 sin ($\omega$2t + $\phi$)

Nu kan ik gewoon niet verder.. ik zie trouwens niet in dat zo een figuur 'gesloten' is.

Hartelijk dank

Davy

Davy Jans
13-1-2004

Antwoord

Hoi,

X(t) en Y(t) zijn inderdaad harmonische trillingen met respectievelijk frequenties $\omega$₁=12$\pi$ en $\omega$₂=25$\pi$.
De figuur ontstaat door t te laten lopen en het punt (X(t),Y(t)) te volgen. De figuur noemen we gesloten omdat na een zekere periode we op hetzelfde punt terugkomen en dezelfde figuur telkens opnieuw beschreven wordt: (X(t+k),Y(t+k))=(X(t),Y(t)).

Wiskundig zie je dat dit het geval is wanneer $\omega$₁.k=2$\pi$.n₁ en $\omega$₂.k=2$\pi$.n₂ met n₁ en n₂ geheel (omdat 2$\pi$ precies de periode is van sin()).

Dus moet k=2$\pi$.n₁/$\omega$₁=2$\pi$.n₂/$\omega$₂. Concreet in dit geval hebben we: k=n₁/6=2n₂/25. Voor n₁=12 en n₂=25 hebben we de kleinste k die hieraan voldoet: k=2.

Besluit: (X(t+2),Y(t+2))=(X(t),Y(t)) voor de waarden die je gaf en daarom is de figuur gesloten.

Ter afsluiting en met dank aan de Université de Nantes.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Groetjes,
Johan

andros
14-1-2004