WisFaq!

Homomorfisme

beste,

kan iemand mij in mensentaal uitleggen wat een homomorfisme is.
In mijn cursus staat het volgende
stel: K,A,*,~ en K',A,*',~' me afbeelding f:A-A' die verenigbaar is met de samenstellingswetten.
dus voor alle x,y element van A en voor alles k element van K geldt:
f(x*y)=f(x)*'f(y)
f(k~x)=k~'f(x)
maar daar raak ik persoonlijk niet veel wijzer uit.

dankje

wim
13-1-2004

Antwoord

Ga uit van twee verzamelingen G en H en veronderstel dat zowel in G als in H een of andere samenstellingswet is gedefinieerd. Laat de samenstelling in G met het symbool * worden aangeduid en de samenstelling in H met de gewone vermenigvuldigstip
Als nu f een afbeelding is van G naar H, dan worden de elementen van G op de een of andere manier 'gekoppeld' aan elementen van H.

Als nu voor alle (!) x en y in G geldt dat f(x*y) = f(x).f(y)
dan wordt f een homoformisme van G naar H genoemd.
Het komt neer op: eerst twee elementen in G samenstellen en op het resultaat de afbeelding f loslaten levert hetzelfde op als f eerst loslaten op x en y afzonderlijk(en dan zit je dus al in H) en dan vervolgens in H de samenstelling van die twee beeldelementen maken.

Simpel (maar vaag) gezegd: f gedraagt zich netjes ten opzichte van de twee samenstellingswetten in G en in H

Van hetgeen in je boek staat kan ik ook niet zoveel maken, maar het hangt allemaal samen met de context waarin het begrip homomorfisme wordt aangereikt. Hopelijk kun je nu wat verder met dit erg belangrijke begrip dat vooral in de theorie van groepen en ringen voorkomt.

MBL
13-1-2004