WisFaq!

Moeilijke limiet

Ik vind niet hoe deze limiet uit te werken : vooral door die natuurlijke logaritmen

lim[ln(ln(1+x⁴))/ln(ln(1+x²)),x®0].

Yvonne
13-1-2004

Antwoord

Hoi,

Neem f(x)=ln(ln(1+x⁴)) en g(x)=ln(ln(1+x²)). Je wil L=lim(f(x)/g(x),x®0) berekenen.

Omdat lim(f(x),x®0)=lim(g(x),x®0)=0 mogen we de l'Hôpital toepassen: L=lim(f'(x)/g'(x),x®0).

Welnu:
f'(x)=
1/ln(1+x⁴).[ln(1+x⁴)]'=
1/ln(1+x⁴).1/ln(1+x⁴).[1+x⁴]'=
4x³/ln²(1+x⁴)
en
g'(x)=
1/ln(1+x²).[ln(1+x²)]'=
1/ln(1+x²).1/ln(1+x²).[1+x²]'=
2x/ln²(1+x²)

Dus is f'(x)/g'(x)=2x².ln²(1+x²)/ln²(1+x⁴)... Nog altijd een 0/0 geval voor x®0, maar de buitenste laag van ln() is er toch af.

We noemen M=lim[x.ln(1+x²)/ln(1+x⁴),x®0], dan is L=2.M².

We hernoemen f(x)=x.ln(1+x²) en g(x)=ln(1+x⁴), zodat:
f'(x)=1.ln(1+x²)+x.1/(1+x²).2x=ln(1+x²)+2x²/(1+x²) en g'(x)=4x³/(1+x⁴).
Ook hier is lim[f'(x)/g'(x),x®0] een 0/0 geval en kunnen we de l'Hôpital nog eens toepassen... Veel rekenen, maar het gaat er wel op vooruit: de ln(x) worden telkens verdreven en uiteindelijk krijgen we een rationale vorm waarvan we de limiet zeker kunnen berekenen. Vanaf hier laat ik het aan jou

Groetjes,
Johan

andros
13-1-2004