Ik neem aan dat je de definities van deze twee soorten convergentie kent.
a) puntsgewijze convergentie. fn gaat naar g puntsgewijs (als n naar oneindig gaat natuurlijk, dit zeggen we er niet steeds bij) wil zeggen dat voor iedere x (in het gebied waar het over gaat) fn(x) naar g(x) gaat.
Voorbeeld: fn(x) = sin(x/n) gaat naar 0 voor iedere x.
b) Uniforme convergentie. fn gaat naar g uniform (gelijkmatig ) als de maximale afwijking tussen fn en g naar 0 gaat. Dus als Max |fn(x) - g(x) | gaat naar 0
Voorbeeld: fn(x) = sin(x) /n. Dan gaat fn uniform naar de nulfunctie, Want |fn(x) - 0 |
= 1/n. Uniforme convergentie is sterker dan puntsgewijs. Dwz, Als fn gaat naar g uniform dan geldt dat zeker ook puntsgewijs. Maar omgekeerd niet natuurlijk zoals blijkt uit de voorbeelden.
JCS
8-1-2004