WisFaq!

Gram-Schmidt

Het gaat hier om de volgende vraag:
Neem op ^3 het inproduct x,y := x1*y1+2*x2*y2+3*x3*y3

Zij u1=[1,1,1], u2=[1,1,0] en u3=[1,0,0]
Maak nu m.b.v. het gram-schmidt proces uit de basis (u1,u2,u3) een orthogonale basis voor ^3 t.o.v. het aangegeven inproduct.

Ik snap wat het gram-schmidt proces is, maar hoe moet ik deze opgave oplossen, ik weet toch niks van x1,x2,x3,y1,y2,y3 en wanner gebruik ik dit. Ik weet kortom niet welke wanneer ik wlke stap uitvoer om tot een orthogonale basis te komen!

En mijn tweede vraag is: hoe kan ik nu rekenen met deze matrices, want delen (zoals ik Gram-schmidt) kan met matrices toch helemaal niet!

Bij voorbaat zeer hartelijk dank
Erik

PS. ongetwijfeld is het simpel maar ik zie het even niet

Erik
4-1-2004

Antwoord

De xi en yi zijn gewoon de componenten van de vectoren x en y. Jij moet deze opgave maken met het gegeven inprodukt, en niet met het "klassieke" inprodukt som(xi·yi).

Stel de gevraagde basis voor door (w1,w2,w3)

w1 = u1 = [1,1,1]
w2 = u2 - w1.(u2.w1)/(w1.w1) - [1,1,-1]
w3 = u3 - w1.(u3.w1)/(w1.w1) - w2.(u3.w2)/(w2.w2) - [4,-2,0]

Met "-" bedoel ik dat ik het resultaat heb herschaald teneinde enkel met gehele getallen te moeten werken, breuken rekenen niet zo lekker vind ik. Dit verandert niks aan de idee achter het Gram-Schmidt-procede.

Ter controle: de determinant w1w2w3 is verschillend van nul en brengt dus R³ voort, en w1.w2=w1.w3=w2.w3=0, de nieuwe basisvectoren zijn dus orthogonaal.

cl
4-1-2004