WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op donderdag 28 maart 2024

Reeksen van Gregory en Brouncker

Ik snap niet hoe je een kettingbreuk moet uitrekenen? moet je de stappen 1+ 12/3 , 2+ 32/52, enz steeds delen of optellen of iets anders?

En hoe weet je bij de tweede wat je voor x moet invullen en wat komt er dan uit? is het antwoord wat eruit komt dan p? Of iets anders? Dat zijn de dingen die ik niet snap..

Marian
30-12-2003

Antwoord

Brouckner
De kettingbreuk is lastig. Eigenlijk staat er dit:

q18052img1.gif

Om U0 te bereken heb je U1 nodig, maar om U1 te berekenen heb je U2 nodig, enz... en dat houdt natuurlijk niet op.

Als je nu 4/p wil benaderen met een n aantal termen, dan neem je Un+1=2n+1.

Voorbeeld
We kiezen n=3.
We willen dus uitrekenen:

q18052img2.gif

We nemen dan U4=7, we krijgen dan:

4/p1+1/(2+9/(2+25/(2+49/(2+7))))=1,2717...
Dit levert als benadering p3,1452...

Voor grotere n wordt de benadering dan steeds beter. Probeer het maar eens:



Gregory
Je kunt hier x=1 nemen. Er staat dan arctan(1) en dat is gelijk aan 1/4p. Je krijgt dan:

q18052img3.gif

Hoe meer termen je neemt hoe beter de benadering voor 1/4p, waarmee je een benadeing voor p gevonden hebt.

q18052img4.gif

Zoals je ziet schiet het niet erg op. Probeer maar:


Zie bron [http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/anx3/pi_brouncker.html]

WvR
30-12-2003


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#18052 - Rijen en reeksen - Leerling bovenbouw havo-vwo