WisFaq!

Differentiaalvergelijkingen

Hallo,

Ik heb enkele vragen die ik jullie zou willen stellen ivm differentiaalvglen.

Zouden jullie me op weg kunnen helpen met volgende dvg;
6y²y'²=y-3y'x

Voor dvg's van een hogere orde zit ik steeds vast na enkele stappen. Waarschijnlijk maak ik steeds dezelfde fout. Ik zal er enkele als vb geven. Kunnen jullie er één uitwerken, want ik kom er zelfs na uren zoekwerk maar niet uit.

yy"+y'²=2yy'
xy"+y'=4x
y"²=4xy"-4y'
y'y'''-3y"²=0

Weten jullie soms ook niet of er gelijkaardige site's bestaan van andere vakken, bv fysica, chemie,...
Jullie zouden me een groot plezier doen me iets te laten weten.
Alvast bedankt!
Gilles.

Van Mol Gilles
25-12-2003

Antwoord

Hallo Gilles,
Het lukt wel als je gewoon van alles probeert. Er zijn een paar trucs die vaak werken. Ik ken geen methode die altijd werkt. Dus gewoon goed kijken en verschillende dingen proberen.

1) 6 y² (y')²= y - 3 y' x
Probeer y = a x^p, dan is y' = p a x^p-1. Als je dat invult en wat vereenvoudigt zie je dat voor p=²/₃ en a=¹/₂·3^1/3 er gelijkheid heerst. Je hebt dan tenminste één oplossing gevonden. Je kunt nog proberen met y = ax^p + c, want meestal zijn er meerdere oplossingen, zoals in de volgende voorbeelden van jou.

2) y y" + (y')² = 2 y y'.
Dit kan ook geschreven worden als:
(y y')' = 2 y y'. Dus voor de functie F = y y' geldt : F' = 2F. Dus F is een exponentiele functie: F(x) = a e^2x.
Zodoende hebben we y y' = a e^2x. Of liever 2 y y' = 2a e^2x
Want 2y y' = (y²)'. En dus is de afgeleide van y² gelijk aan 2ae^2x en dus y² = a e^2x + c Klaar.
Ook zijn er nog constante oplossingen: y = k voldoet hier ook voor willekeurige k

3) x y" + y' = 4 x. Deze is heel gemakkelijk. Het linkerlid is gelijk aan (x y')'. Dan is dus x y' = 2 x², dus y' = 2 x en y = x² + C

4) ( y")² = 4 x y" - 4y'. Ten einde raad ging ik maar eens differentieren. En dat werkte: 2 y" y"' = 4x y"' + 4 y" -4y". Dus y" y"' = 2x y"' ofwel y" = 2x. en die kun je zelf wel aan.

5) y y"' = 3(y")².
Er komt geen x hierin voor. Dan altijd proberen y = a e^px
Invullen levert p = ¹/₃ als de juiste coëfficient. Ook y = c is oplossing.
Er zijn heel veel boeken wiskunde voor de natuurwetenschappen kijk maar eens in de bibliotheek op je school. maar dikwijls kun je door eerst zelf proberen al op het goede spoor komen.

Succes ermee.
Groeten en veel geluk in het nieuwe jaar.

JCS
27-12-2003