WisFaq!

Integraal berekenen met goniometrische substitutie

Hoe integreer ik deze functie: (sin(x).cos(x))/(1-cos(x)) ?

Bedankt

jos
24-12-2003

Antwoord

Hoi,

Om ò(sin(x).cos(x).dx)/(1-cos(x)) te berekenen, is het handig te bedenken dat d(cos(x))=-sin(x).dx. Dit suggereert de goniometrische substitutie u=cos(x).

De integrand is dan:
(sin(x).cos(x).dx)/(1-cos(x)) = -cos(x).d(cos(x))/(1-cos(x)) = -u.du/(1-u)= (1-u-1).du/(1-u)=du+du/(u-1).

De integraal is dan:
u+ln|u-1|+c = cos(x)+ln|cos(x)-1|+c.

Ter controle leiden we af:
-sin(x)-sin(x)/(cos(x)-1)=(-sin(x).cos(x)+sin(x)-sin(x))/(cos(x)-1)=sin(x).cos(x)/(1-cos(x)). Check!

Groetjes,
Johan

andros
29-12-2003