WisFaq!

Eigenschap adjunctmatrix

Hoe bewijs je: A.adj(A)=adj(A).A= I.det(A) ?
Ook dat daaruit volgt: Als det(A)¹0 dan geldt dat A^-1 =1/det(A).adj(A) ?

Danku!
Tamara

Tamara
30-11-2003

Antwoord

Hoi,

Het gaat hier om een vierkante matrix A van orde nxn.

Voor de zekerheid zocht ik de definitie van adj(A) op. Bij MathWorld ontdekte ik dat 'adjoint' of 'adjugate' niet is wat we zoeken...

Met deze link op MathWorld raken we er wel. Gebruikmakend van definities (1) of (3) op die site definiėren we: adj(A)=[C_ij]^t=[C_ji]=[(-1)^i+j.M_ij]^t=[(-1)^i+j.M_ji].
De minor M_ij is de determinant van de matrix die we uit A afleiden door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen. De cofactor C_ij=(-1)^i+j.M_ij.

We vinden meteen ook een paar heel bruikbare eigenschappen:
det(A)=sum(a_ij.C_ij:i=1..n)=sum(a_ij.C_ij:j=1..n)
In de eerste uitdrukking ontwikkelen we det(A) naar de j-de kolom, in de tweede naar de i-de rij.

We nemen B=A.adj(A)=[b_ij]. Dan moet b_ij=sum(a_ik.C_jk:k=1..n).
Voor i=j vinden we onmiddellijk dat b_ij=det(A).
Voor i ¹j kunnen we b_ij=sum(a_ik.C_jk:k=1..n) zien als de ontwikkeling van de determinant van een matrix B_ij die gelijk is aan A, maar waarbij we de i-de rij vervangen door de j-de rij. Omdat de i-de en de j-de rij, met i¹j, element voor element gelijk zijn, moet det(B_ij)=0. Hiermee is bewezen dat A.adj(A)=I.det(A). Op dezelfde manier bewijs je dat ook A.adj(A)=I.det(A).

Groetjes,
Johan

andros
4-12-2003