WisFaq!

Moeilijke limiet

Ik ben op zoek naar de oplossing van volgende limiet:

Limiet van n naar oneindig van volgende uitdrukking:

((3ⁿ/2)·a + Som van x=1 tot n/2 van (3^((n/2)-x))))/(Produkt van y=2 tot oneindig van (2^(((y-1)·n)/2^y))

Kan iemand mij helpen aub???

Erik De Kuyffer
8-10-2003

Antwoord

TELLER

= 3^n/2.a + $\sum$_x=1^n/2 [ 3(n/2-x) ]

= 3^n/2.a + 3^(n/2)$\sum$_x=1^n/2 [ 3^-x ]

De som is nu ongeveer een eindige meetkundige reeks, namelijk als je eerst deelt door de eerste term. Je bekomt uiteindelijk dat

TELLER = (a+1/2).(√3)ⁿ - ¹/₂

Voor de noemer vinden we achtereenvolgens dat

NOEMER

= $\prod$_y=2^$\infty$ [ 2^n(y-1)/(2y) ]

= 2 ^{[ n $\sum$_y=2$\infty$ [ (y-1)/(2y) ] ]}

= 2 ^{[ n ($\sum$_y=2$\infty$ [ y/(2y) ]) - ($\sum$_y=2$\infty$ [ 1/(2y) ])} ]

Er geldt dat voor de meetkundige rij

1+x+x²+... = 1/(1-x)
x²+x³+... = 1/(1-x) - 1 - x (1)

en door afleiding

1+2x+3x²+... = 1/(1-x)²
x+2x²+3x³+... = x/(1-x)²
2x²+3x³+... = x/(1-x)² - x (2)

Beide sommen in de uitdrukking voor de noemer volgen nu door in (1) en (2) x=1/2 te stellen. Uiteindelijk bekom je het leuke resultaat dat

NOEMER = 2ⁿ

Bekijken we nu de combinatie van teller en noemer, dan kunnen we concluderen dat, aangezien √3 $<$ 2, de limiet nul zal zijn, onafhankelijk van de waarde van a (het was leuker geweest indien het grondtal in de teller groter was geweest dan 2, dan hadden we een uitzondering moeten maken voor het geval a=-1/2)

Als er iets onduidelijk is, zeg je het maar...

PS: Ik vermoed dat deze oefening een aardigheidje is van iemand, en echt geen achtergrond heeft he? Of wel?

cl
12-10-2003