WisFaq!

De invloed van f(z) = z² op 1 <= |z - 2| <= 2

Teken in het complexe vlak het beeld van 1 |z - 2| 2 onder f(z) = z².
Zelf kom ik tot het volgende: Stel z = x + yi
1 |x - 2 + yi| 2 Ik weet hoe ik dit moet tekenen.

De invloed van de functie op 1 en 2 begrijp ik wel, dit wordt 1 en 4. Waar het mij om gaat is hoe het middendeel uitgewerkt moet worden.
Dus eigenlijk gaat mij het minder om de tekening maar meer om de berekening van de invloed van f(z) op |x - 2 + yi|

Godelieve van der Pas
26-9-2003

Antwoord

Hoi,

Strikt genomen is het antwoord dat f(z) geen enkele invloed heeft op |z-2|... z is onafhankelijk van het beeld onder f en dus ook de afstand tot 2. Ik vermoed dat je ergens zoekt naar |f(z)-2|, maar dat is eigenlijk niet de vraag...

Tip: 1|z-2|2 is de 'donut' met centrum (2,0) en stralen 1 en 2...

Eén manier om f(z) te bestuderen is inderdaad z=x+yi te nemen. f(z)=z²=x²-y²+2xyi dus f(x,y)=(x²-y²,2xy).

Anders kan je z=r.e^qi nemen, f(z)=z²=r².e^2qi. De eenheidscirkel is dus interessant. Punten binnen de donut en de eenheidscirkel blijven binnen de eenheidscirkel, punten op de eenheidscirkel blijven erop en punten erbuiten, blijven erbuiten. De hoek wordt verdubbeld en de precieze modulus kan je bepalen met x®x².
Je ziet ook dat f(0)=0 en f(1)=1. Dit zijn de enige dekpunten.
Het is interessant te bekijken wat er met cirkels met centrum (2,0) en straal tussen 1 en 2 gebeurt. Ik vond de pool-voorstelling (2+r.cos(q),r.sin(q)) met 0q2p en 1r2 nuttig om te simuleren in Excel. De cirkel met straal 1.5 bijvoorbeeld heeft beeld:



Collega Dick Klingens kan veel beter tekenen dan ik. Eerst met straaltjes, dan met concentrische cirkeltjes op de donut...



Hopelijk kan je hiermee weg...

Groetjes,
Johan

andros
26-9-2003