WisFaq!

Optellingsformules

Ik zit vast bij de volgende opgave:

Bewijs, voor elke x waarvoor de vermelde goniometrische gatallen bestaan:

tg(45°+x)-tg(45°-x)= (4 sin x.cos x):(cos²x-sin²x)

Alvast bedankt

evelien
17-9-2003

Antwoord

Dag Evelien,

In dat rechterlid zouden teller en noemer je bekend moeten voorkomen: de teller lijkt verdacht veel op sin(2x), en de noemer op cos(2x). Dat rechterlid is dus eigenlijk gewoon: 2sin(2x)/cos(2x) = 2tg(2x)

Je kan de somformule voor de tangens gebruiken om het linkerlid te herschrijven.
tg(45+x) = ^tg45+tgx/_1-(tg45.tgx)
waarbij tg45 = 1, dus tg(45+x) wordt ^1+tgx/_1-tgx.
Voor tg(45-x) gebruik je dezelfde formule, dat geeft als resultaat ^1-tgx/_1+tgx
Het linkerlid wordt op die manier:
^1+tgx/_1-tgx - ^1-tgx/_1+tgx
Schrijf op één noemer, er komt:
^{(1+tgx)2-(1-tgx)2}/_{(1+tgx)(1-tgx)}
= ^4tgx/_1-tg²x
En dit herken je als 2tg(2x), en dat was dus ook het rechterlid, waarmee de gelijkheid bewezen is.

Mocht je nu die dubbelehoekformules niet herkend hebben, is er nog geen probleem: je hebt dan het linkerlid als een breuk a/b kunnen schrijven, en ook het rechterlid als c/d, je moet dan nog bewijzen dat ad=bc, en als je dat uitwerkt kan dat geen problemen opleveren, het is alleen wat properder op deze manier.

Groeten,
Christophe.

Christophe
17-9-2003