WisFaq!

Ongelijkheid voor reële getallen bewijzen

.. hoi, ik heb weer.. een vraagje ik moet iets aantonen..
a en b en y zijn reele getallen waarvoor geldt:
aby>0
toon aan:

a²b/y + b²y/a + y²a/b a²+b²+y²

alvast bedankt

Ucef
29-8-2003

Antwoord

Hoi,

Eén manier om dit te doen is je uitdrukking te herschrijven in de vorm f(y)0 waarin f(y) een veelterm in y.

Je behandelt dan eerst het geval waarin a=b en dan ab.

Voor a=b is f(y) een veelterm van de 2de graad waarvan je heel makkelijk nagaat dat f(y)0 voor y0.

Voor ab is f(y) een veelterm van de 3de graad met als coëfficiënten: [c₃,c₂,c₁,c₀]=[a/b-1, b²/a, -(a²+b²), a²b].

We zien onmiddellijk dat f(0)=a²b0.
We zien ook dat f'(y)=[3.(a/b-1), 2b²/a, -(a²+b²)]. Hieruit zien we dat f'(y) 2 verschillende 0-punten hebben met tegengesteld teken. We zijn enkel geïnteresseerd in waarden voor y0. Dit betekent dat f(y) een minimum heeft voor een waarde y₀0. We moeten nog enkel bewijzen dat f(y₀)0 blijft.

Nu moet je y₀ kunnen bepalen en dan f(y₀)... Een monster rekenopdracht...

Groetjes,
Johan

andros
1-9-2003