WisFaq!

Zwaartepuntsberekening

Ik ben op zoek naar het zwaartepunt van een cirkelsector van 60°. De gegeven afleiding is mij niet duidelijk.

Tom Janssens
20-8-2003

Antwoord

Neem de symmetrie-as van de sector als x-as met het hoekpunt van de sector als oorsprong. Het zwaartepunt wordt dan gegeven door de vector

m = òòrv dxdy / òòr dxdy

Veronderstel dat de dichtheid homogeen is over de sector, zodat de r uit bovenstaande uitdrukking verdwijnt. Schakel nu ook over op poolcoordinaten zodat dxdy=rdrdq.

m = òòv.rdrdq / òò rdrdq

De componenten van de vector v zijn [r cos q, r sin q] zodat de componenten van de vector m gelijk zijn aan

mx = òòrcos(q).rdrdq / òò rdrdq
my = òòrsin(q).rdrdq / òò rdrdq

De integratiegrenzen voor r zijn 0 en R, die voor q zijn -p/6 en +p/6. Werk de integralen uit en bekom

mx = 2R/p
my = 0 (zoals verwacht)

Bereken ook eens het geval van een algemene openingshoek en bereken de limiet wanneer die hoek nadert naar 0. Kan je dat resultaat verklaren?

cl
20-8-2003