WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 29 maart 2024

Wat is de algemene oplossing van deze differentiaal vergelijking?

wat is de algemene oplossing van een dif.verg. als deze?
kortom, hoe bewijs ik dat algm. opl. hiervan is:

y(t) = b/a + C·e-a·t

S. Hoekman
12-8-2003

Antwoord

De algemene techniek voor lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coefficienten

homogene vergelijking: y' + ay = 0
karakteristieke vergelijking: z + a = 0 - nulpunt: z = -a
algemene oplossing van de homogene vergelijking: y = C.exp(-at)

volledige vergelijking: y' + ay = b
een particuliere oplossing: y = b/a (uit de vorm van het rechterlid volgt dat er zeker een particuliere oplossing bestaat in de vorm van een constante)

algemene oplossing = homogene oplossing + particuliere oplossing

Techniek voor lineaire eerste-orde vergelijkingen (niet noodzakelijk constante coefficienten)

Vermenigvuldig de volledige vergelijking met exp(at)

y'.exp(at) + a.exp(at).y = b.exp(at)
(d/dt)(y.exp(at)) = b.exp(at)
y.exp(at) = (b/a).exp(at) + C
y = (b/a) + C.exp(-at)

cl
12-8-2003


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#13385 - Differentiaalvergelijking - Iets anders